Zusammenfassung von Die Bändigung der Unendlichkeit oder Wie ich lernte, die Mathematik zu lieben

Chemiker widmen sich den Elementen, Physiker den Teilchen und Mathematiker versuchen, die Zahlen zu ergründen. Und das aus gutem Grund! Zahlen sind enorm praktisch. Mit ihnen können wir Dinge voneinander unterscheiden – sei es das Einrad vom Dreirad oder das Fünf-Minuten- vom Vier-Minuten-Frühstücksei. Wissenschaftler vermuten, dass unsere Vorfahren bereits vor 20.000, vielleicht sogar 30.000 Jahren mit dem Zählen begannen. Dabei sind Zahlen ein abstraktes Konzept: Wir können zum Beispiel nicht alle Zahlen aufzählen, weil es unendlich viele von ihnen gibt.

Um die Idee der Zahlen besser zu verstehen, stellen wir uns zunächst eine lange Straße vor, auf der die Zahlen angesiedelt sind: die Zahlengerade. Dort residieren zunächst die natürlichen Zahlen.

Wie viel ist unendlich? Und wie viel ist unendlich plus eins? Die Unendlichkeit fasziniert uns Menschen seit jeher und übersteigt dabei oft unseren Verstand. Auch in der Mathematik sorgt sie für allerlei Kuriositäten.

Nehmen wir die natürlichen Zahlen. Von denen gibt es bekanntlich unendlich viele. Wenn wir nun aber zu den unendlich vielen natürlichen Zahlen alle negativen ganzen Zahlen hinzuzählen, haben wir weiterhin nur unendlich viele, also gleich viele Zahlen. Das scheint kurios.

Das Hilbert Grand des vorherigen Blinks ist ohne Frage das Lieblingshotel von Mathematikerinnen und Mathematikern. Ihre Lieblingskneipe, die Bar No Limit, befindet sich direkt ums Eck. Dort also gehen die Zahlenzauberer abends einen heben. Wollen wir doch einmal sehen, wie viel Bier sie für ihr Vergnügen benötigen.

Nun ist die mathematische Spezies keineswegs für ihre Trinkfestigkeit bekannt. Doch ihre Genügsamkeit ist geradezu erstaunlich. Denn in der Bar No Limit geben sich zuweilen selbst unendlich viele trinkende Mathematiker mit nur endlich viel Bier zufrieden. Und ist das nicht höchst sonderlich? Wenn doch unendlich viele durstige Mäuler zumindest kurz am Bierkrug nippen, braucht es nicht auch unendlich viel Bier? Nicht unbedingt.

Jede Wissenschaft kennt ihre Legenden, so ist es auch in der Mathematik. Eine solche Legende erzählt die Geschichte des jungen Carl Friedrich Gauß, der in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts lebte und noch heute als „Fürst der Mathematiker“ gerühmt wird. Der kleine Genius langweilte sich natürlich schrecklich während seiner Schulstunden. Um ihn zumindest etwas zu beschäftigen, dachte sich sein Mathematiklehrer eine Aufgabe aus: Er solle die Zahlen von eins bis hundert addieren. So wollte er den Neunjährigen ruhigstellen.

Doch der Lehrer hatte die Rechnung ohne seinen Schüler gemacht. Gauß nahm die Aufgabe als Gelegenheit, zu zeigen, was in der Mathematik steckt. Nicht bloß stumpfes Zählen, sondern cleveres Rechnen!

Zugegeben, ein fiktives Hotel, die kruden Trinkgewohnheiten der Mathematikerinnen und Mathematiker, unendliche Mengen und Summen – nichts von alledem klingt nach Dingen, die unseren Alltag bewegen. Was also nützt uns die Mathematik ganz praktisch?

Womöglich bestimmt die Mathematik deinen Alltag weit mehr, als du annimmst. Nur nimmst du sie in deinem Leben kaum wahr, denn sie ist so gut hinter den Kulissen versteckt, dass du sie selten siehst. Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Im Supermarkt, beim Wetterbericht oder bei der Routenplanung – die angewandte Mathematik bringt immensen Nutzen im Alltag, das haben wir im letzten Blink gesehen. Doch die Krone der Schöpfung ist die reine Mathematik. Besuchen wir nun einen der ältesten und schönsten Tempel der mathematischen Theorie, die Algebra.

Die klassische Algebra widmet sich dem Lösen von Gleichungen. In ihrer einfachsten Form begegnen uns algebraische Gleichungen dabei als lineare Gleichungen, zum Beispiel als 27 – 5x = 3x + 3. Die mögen auf den ersten Blick mitunter mühselig aussehen, sind mit etwas Umstellen aber schnell gelöst.

Die Mathematik ist die Kunst des Beweisens. Und Beweise können so schön sein wie die Verse Vergils oder der Pinselstrich Picassos. Dabei leuchtet mathematische Schönheit nicht in Farben oder ertönt in Reimen, sondern strahlt durch Wahrheit.

Auch Rechtsmediziner oder Theologen meinen oft, Beweise für einen bestimmten Tathergang oder einen Glaubenssatz zu finden. Was ist es dann, das den mathematischen Beweis im Vergleich zu anderen Disziplinen so einzigartig macht? 

Wir bleiben beim Beweisen. Jetzt, da wir wissen, was ein Beweis ist und alles Handwerk parat haben, wollen wir auch ein paar Beweise führen. Nur Mut! Wir fangen ganz leicht an – und werden uns zu großen Taten steigern!

Beginnen wir mit einer Aussage über die natürlichen Zahlen, dass nämlich die Summe zweier gerader Zahlen wieder gerade ist. Das scheint zu stimmen: 4 + 16 = 20 und 78 + 144 = 222 und 100 + 1000 = 1100. All diese Additionen ergeben gerade Zahlen. Uns würden sicher noch viele Beispiele einfallen. Doch Beispiele sind kein Beweis.

Hoch in den Himmel haben wir die Mathematik bisher gelobt. Ewig glänzende Wahrheiten bringe sie ans Licht, denn ihre Wahrheiten würden durch einen Beweis unsterblich. Doch kann die Mathematik alles beweisen?

Der österreichische Mathematiker Kurt Gödel war der Unheilsbringer, um den es in diesem Blink gehen soll. Denn im Jahr 1931 löste Gödel ein wahres mathematisches Erdbeben aus, das das bis dahin so feste Gebäude der Mathematik wie ein Kartenhaus in sich zusammenstürzen ließ. Gemeint ist Gödels Unvollständigkeitssatz. Doch beginnen wir von vorn.

Die Mathematik ist nicht nur nützlich, sie ist voller Schönheit. Um sie zu erleben, bedarf es keines Genies: Die Wunder und Geschichten der Mathematik sind für alle Menschen greifbar. Wenn wir uns ihnen widmen, erkennen wir, dass in mathematischen Beweisen eine große Eleganz und Kunstfertigkeit liegt.